Thế năng của lực hấp dẫn (trọng lực)

Thế năng hấp dẫn của một vật có khối lượng m {\displaystyle m} khi di chuyển từ vị trí có độ cao ban đầu y i {\displaystyle {{y}_{i}}} đến vị trí lúc sau y f {\displaystyle {{y}_{f}}} (so với mốc thế năng) sinh ra một công, được xác định như sau:

W F g = F g . d . cos ⁡ θ {\displaystyle {{W}_{{F}_{g}}}={{F}_{g}}.d.\cos \theta }

Giả sự vật đi lên, với y f > y i {\displaystyle {{y}_{f}}>{{y}_{i}}} , và d {\displaystyle d} là quãng đường dịch chuyển, chính là hiệu số y f − y i {\displaystyle {{y}_{f}}-{{y}_{i}}} . Góc θ {\displaystyle \theta } hợp bởi chiều của lực tác dụng và quãng đường dịch chuyển. Trong trường hợp này θ = 180 ∘ {\displaystyle \theta =180{}^{\circ }} , do gia tốc trọng trường luôn hướng xuống, ngược chiều với chiều chuyển động.Áp dụng vào công thức tính công, ta có:

W F g = F g . d . cos ⁡ θ = F g ( y f − y i ) cos ⁡ 180 ∘ = − m g ( y f − y i ) = − ( m g . y f − m g . y i ) {\displaystyle {{W}_{{F}_{g}}}={{F}_{g}}.d.\cos \theta ={{F}_{g}}({{y}_{f}}-{{y}_{i}})\cos 180{}^{\circ }=-mg({{y}_{f}}-{{y}_{i}})=-(mg.{{y}_{f}}-mg.{{y}_{i}})}

Lưu ý rằng, kí hiệu F g {\displaystyle {{F}_{g}}} chính là trọng lực mà vật chịu tác dụng. Ta thấy, công của vật lúc này chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu-cuối của vật, do đó, lực hấp dẫn chính là lực thế.

Thế năng của lực đàn hồi (lò xo)

Công của lực đàn hồi được xác định như sau, với F s = − k x {\displaystyle {{F}_{s}}=-kx} :

W F s = ∫ x i x f F s d x = ∫ x i x f − k x . d x = − ( 1 2 k x f 2 − 1 2 k x i 2 ) {\displaystyle {{\text{W}}_{{F}_{s}}}=\int \limits _{{x}_{i}}^{{x}_{f}}{{F}_{s}dx}=\int \limits _{{x}_{i}}^{{x}_{f}}{-kx.dx}=-({\frac {1}{2}}kx_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}kx_{i}^{2})}

Ta thấy rằng, công đàn hồi sinh ra chỉ phụ thuộc vào độ biến dạng lò xo, chứ không phụ thuộc vào hình dạng đường đi. Nên lực đàn hồi cũng là lực thế.

Lực không đổi

Xét lực F → {\displaystyle {\overrightarrow {F}}} không đổi, tác dụng vào vật, làm vật dịch chuyển một đoạn đường từ r i → {\displaystyle {\overrightarrow {{r}_{i}}}} đến r f → {\displaystyle {\overrightarrow {{r}_{f}}}} . Khi đó, công thực hiện:

W = ∫ r i r f F → d r → = F → . ∫ r i r f d r → = F → ( r f → − r i → ) {\displaystyle {\text{W}}=\int _{{r}_{i}}^{{r}_{f}}{{\overrightarrow {F}}d{\overrightarrow {r}}}={\overrightarrow {F}}.\int _{{r}_{i}}^{{r}_{f}}{d{\overrightarrow {r}}}={\overrightarrow {F}}({\overrightarrow {{r}_{f}}}-{\overrightarrow {{r}_{i}}})}

Vậy, F → {\displaystyle {\overrightarrow {F}}} cũng là lực thế.